Ningún profesor de Matemáticas me informó nunca sobre la invención del cero ni sobre los personajes o los pueblos que intervinieron en su difusión. No es que yo haya estudiado Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, pero sí tuve un par de cursos fuertes en esa área cuando estudié Ingeniería Agrícola (en esa época, allí enseñaban de todo, menos agricultura…) y tampoco escuché hablar del cero y sus circunstancias. Cuando aprendí a manejarme en sistemas de base dos, tampoco me lo mencionaron. De manera que cumplí los veintiocho años sin siquiera plantearme que alguien debió ser el primero en incorporarlo a nuestro sistema numeral en algún momento de la historia.
A esa edad, me llegó la primera noticia por la Historia del Judío Errante, de Jean d’Ormesson, una novela que hace un buen repaso a la historia de la humanidad, con un estilo similar al de La historia del mundo en diez capítulos y medio, de Julian Barnes, aunque aquélla fue escrita varios años antes. En este punto, la narración de d’Ormesson –apelando más a la ficción que a la realidad– atribuye a su judío la transmisión del conocimiento del cero: lo oye mencionar en la India y lo comunica a un sabio en el desierto de Arabia.
«Salía el sol cuando Omar, de pie, trazó en la arena o el polvo, con la punta de su bastón, el punto de Aryabhata. Al Biruni contempló mucho rato, como en sueños, aquella herida leve en la superficie de la tierra. Pasó media hora.
Acaso una hora. Acaso más todavía. Inmóvil, silencioso, Omar Ibn Battuta no se atrevía a hacer el menor gesto por miedo a contrariar la meditación de su compañero, sumido en un éxtasis que no era ya de este mundo. Una ligera brisa comenzó a soplar. Empezó a borrar el punto de Aryabhata. Al Biruni se levantó a su vez. Cogió el bastón de las manos de Omar Ibn y, con un solo gesto, trazó un redondel en el suelo:
–He aquí –dijo– la única imagen correcta de la perfección y de la nada. El punto está al principio y al final de las cosas. No es lo que necesitamos. El círculo, que separa y que sin embargo reúne, es el símbolo, a un tiempo, del poder y la ausencia. Asociado a las nueve cifras, designará a la vez la multiplicación y el vacío. Y a esta figura de la nada de la que saldrán todos los números la llamaremos el cero.” [1]
Creo que es difícil leer las escasas cinco páginas que la novela dedica al cero y no sentir la suficiente curiosidad para indagar un poco más, por poco que a uno le interesen las Matemáticas, la Filosofía y el vacío absoluto. De manera que me informé sobre el asunto.
BUSCANDO CEROS
No recuerdo si alguna vez lo comenté con mi querido y recién perdido amigo, el matemático Pablo González, en alguno de esos ratos en que yo, medio en broma, trataba, inútilmente, de demostrarle que la Literatura era más invariable que las Matemáticas, porque las obras maestras literarias duran más que los teoremas, muy dados a la caducidad porque surgen otros que los rebaten. En realidad, no me acuerdo dónde o con quién me informé sobre las aventuras del cero. Lo cierto es que me resultaron tan interesantes como las del Conde de Montecristo, el cual, por cierto, lo creó Alejandro Dumas inspirándose en las andanzas del tinerfeño Cristóbal del Hoyo Solórzano, Marqués de San Andrés y Vizconde del Buen Paso.
Para entender lo que vino a significar el cero en la cultura europea, hay que pensar en lo difícil que es realizar cualquier operación aritmética con los números romanos. Una simple suma requiere la utilización del ábaco, porque si uno intenta hacerla de cabeza puede que no lo consiga. Intente sumar LVI y XLIV y lo comprobará. Sin embargo, con la numeración habitual (56 + 44 = 100) no se tarda sino unos segundos en hacerlo. Para que esto ocurriera, primero hubo que importar a Occidente la numeración utilizada en la India, desde el 1 hasta el 9. La trajeron los árabes y, pese a la resistencia de los contables de la época, se fue imponiendo poco a poco hasta su implantación definitiva durante el Renacimiento. El cero tardó más en llegar.
Parece que la primera vez que se usó el cero de manera verdaderamente práctica fue en Babilonia, en el siglo III ac. Sin embargo, no lo adoptaron los griegos y quedó en el olvido… en caso contrario, el avance en las Matemáticas en Atenas y Roma podría haber sido espectacular.
En otras latitudes también surgió el cero, pero su utilización no resultó operativa, como sucedió con los mayas o con Ptolomeo. A los romanos, tan cuidadosos con sus denarios, ni se les pasó por la mente utilizar un número que no valiera nada.
EL NACIMIENTO DEFINITIVO
Tuvo que llegar el siglo IX dc (quizás un poco antes) para que surgiera de nuevo el cero. El alumbramiento aconteció en la India y, esta vez, con todas las de ganar y la voluntad de permanecer definitivamente. Hay quien considera que ese descubrimiento sucedió en el siglo VII, siempre en la India, de la mano del astrónomo Brahmagupta quien dijo que el cero es el resultado de restar un número a sí mismo. Sin embargo, lo cierto es que el hombre se hizo un lío y no logró averiguar qué sucede en realidad si se divide algo entre cero o cero entre algo.[2]
Pero, ¿por en qué la India, precisamente, es la cuna del cero? La explicación es tan lógica como teológica: para los hinduistas todo nace desde la nada, desde el cero absoluto. Es el Ying y el Yang: los opuestos: arriba y abajo, ser y no ser. Lo uno no puede existir sin lo otro. Y a esa nada había que proporcionarle un nombre y un signo numérico, lo mismo que a su opuesto, el ser.[3]
Cuando se habla con precisión, los seres animados o inanimados se nombran siempre numerándolos: 1 tigre, 4 árboles, 2 ríos, 25 mangos,… Así fue como se decidió que si no hay árboles, es que hay O árboles. Y que O mangos + 8 mangos son 8 mangos. A este signo del vacío se le asignó una forma redondeada, sin fin, y se dispuso como el primer número cardinal (y ahora caigo en la cuenta que, aunque sí existen los conjuntos vacíos, los números ordinales no tienen un equivalente a cero): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Ya existían, pues, diez cifras y la primera de ellas servía para indicar el primer número de las decenas, centenas, millares, etc.: 10, 100, 1000,… colocándola a partir de la segunda cifra del número.
Así, se inventó el cero por segunda vez, al menos. El árabe Abu Ja’far Mujammad ibn Musa, enterado de su aparición, lo incluyó en un tratado matemático, en el siglo IX. Aunque las cifras indias se usaron en España en el siglo X, el cero no llegaría a Europa hasta el s. XII. Naturalmente, la Iglesia se puso en contra del cero. Lo acusaba de número endemoniado. Por esta razón, quienes lo utilizaban jamás lo hacían en público, temerosos de los graves problemas que podrían tener con la Santa Inquisición.
LA IGLESIA CONTRA EL CERO
¿Por qué esta oposición frontal de los eclesiásticos? Las operaciones matemáticas eran infinitamente más fáciles con las nuevas cifras que con los números romanos. No obstante, el acceso de la gente común a este conocimiento representaba un peligro tanto para las cuentas como para los contables. Un pueblo demasiado informado puede llegar a descubrir cómo se le engaña. Y eso no conviene a los gobernantes ni a quienes les apoyan, espiritual o contablemente. Resulta triste, pero así se ha escrito la historia.
Llegado el siglo XV, con el crecimiento del comercio, de la arquitectura y de los descubrimientos científicos, ya nadie pudo frenar la utilización masiva del sistema numérico indio en Europa.
Hoy, no se entendería la ciencia sin esos diez dígitos, entre los que el cero no es el menos importante. Sin éste no funcionarían los ordenadores, los teléfonos móviles ni la televisión digital, porque el cero supone el 50% de su sistema informático, el cual utiliza un lenguaje en base dos, es decir, de 1 y de O.
EL CERO, SUMA Y SIGUE…
Sobre el cero hay mucho más que escribir. Desde cuestiones de física cuántica, filosóficas o teológicas –tan engarzadas a los elementos matemáticos de más calado, como hemos visto– hasta tratados para probar que el cero es un número par, porque es divisible por 2 al ser un múltiplo entero de 2 (2 x O = O). Quizás, rozando la ciencia ficción, uno de estos días se descubra la partícula cero en algún acelerador de electrones situado bajo las abultadas cajas de los bancos suizos y averigüemos, de paso, a dónde ha ido a parar el dinero de los ciudadanos en los últimos años.
En otro plano, la enseñanza de las Matemáticas suele presentarse como una asignatura tan imprescindible como árida, lo cual no es culpa de las propias Matemáticas, como se pretende hacer creer. Les aseguro que me hubiera encantado que a los diez o doce años alguien me hubiera narrado la historia del cero o cualesquiera otras anécdotas similares. Esto me habría puesto en el camino de indagar no sólo en los números, sino en las fuentes que los han producido. Por desgracia, no fue así y es un verdadero milagro que hoy no odie las Matemáticas.
Humildemente, creo que los estudiantes no esperan de sus profesores que les hagan trucos de magia, sino que les muestren por qué hay gente enamorada de los números y cuál es el camino para llegar a amarlos. El resto del viaje lo harán ellos solos.
En el fondo, es la vieja parábola del pescado y del anzuelo. Una metáfora que es el camino correcto por el que deben transitar la enseñanza, la cultura y la economía. Al menos, yo no vislumbro otro sendero más adecuado… ni más humano.
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[1] Jean d’Ormesson: Historia del Judío Errante, Planeta, 1992.
[2]»A pesar de sus matemáticas brillantes y de su discutible poesia, su solución a la división entre cero era incorrecta. Había afirmado que 7 : 0 era infinito, pero si se pensaba detenidamente, no tenía ningún sentido. Incluso una infinita de nada seguía siendo nada. ¿Cómo podría haber sido alguna vez 7? Y ésta es la clave del dilema. Se debe reconocer que la división y la multiplicación son la misma operación. Si se divide 7 entre 2 el resultado es 3,5 porque si se multiplica 3,5 por 2 se obtiene 7. Por lo tanto, cuando se pregunta por el resultado de dividir 7 entre 0, lo que realmente se pregunta es qué se debe multiplicar por cero para obtener 7. La respuesta es que no hay respuesta. No existe ningún número que al multiplicarlo por otro dé 7 como resultado. Así, la respuesta a cualquier problema en el que se divide un número por cero no está definida. No tiene ningún sentido. No cumple las reglas.
Normalmente se evita a cualquier precio. Es increíble cómo en muchos programas informáticos se producen errores que provocan un mal funcionamiento de los equipos, porque accidentalmente se les ha pedido que realicen una operación en la que se debe dividir por cero.»
(Peter J. Bentley: El libro de las cifras, Paidós, 2008)
[3] “El término sumyam, del que deriva cero, es empleado por los hindúes para referir al acto, a lo nulo concebido como divinidad. Asimismo, para aludir a aquello que ‘carece de marcas por ser inconmensurable, indiscreto’. Lo no numerable y lo estructuralmente silencioso son, pues, equivalentes. Contraataca –uno y el otro– de lo posible, es decir de la cifra y de la palabra. La palabra sólo se deja oír contra un fondo de silencio. A su vez, la cifra se recorta contra el horizonte de lo indescifrable. El cero y el silencio, semblantes de la originalidad absoluta y, por lo tanto, de lo que no tiene comparación, son lo imparentable. Ese todo otro que constituye un summum de alteridad; lo diferenciado intraducible a los términos de cualquier analogía que, al igual que las columnas de Hércules, fija el límite de la enumeración y de lo que puede ser vinculado.
Recuerda al respecto Lalande que Cantor, Wundt y Lasswitz llamaron transfinito a lo que no tiene limite posible o a lo que tradicionalmente. Se conoce como infinito absoluto y se distingue del infinito relativo, o sea ‘de lo que no tiene ningún límite asignable’. Éste, según Lalande, expresa ‘una simple posibilidad’; el primero, en cambio, “una efectividad completa, que podría definirse así: totalidad en la cual todos los grados de disminución o de crecimiento están dados de antemano. Con el infinito absoluto estamos ubicados fuera del concepto de grandeza, entre él y el infinito relativo (infinitamente grande, infinitamente pequeño) hay, no una diferencia de cantidad sino de calidad. El primero se llama también infinito negativo, o indefinido; el segundo, infinito positivo o ilimitado». Si debiera adscribirse a algo, el cero se adscribiría a la noción de infinito absoluto o transfinito. Si, en cambio, de él se derivara el uno –es decir, si se le pudiera asignar un límite–, entonces el cero sería un infinito relativo. No es así, sin embargo. Cero representa la indeterminación absoluta, esa dimensión del ser a la que Hegel, en su Ciencia de la lógica, llama ‘puro ser, sin ninguna otra determinación. En su inmediatez indeterminada sólo es igual a si mismo, pero tampoco es desigual a otro; carece de diferencia, interna o externa. Es la pura indeterminación, el puro vacío. El ser, lo inmediato indeterminado, es en realidad la nada, ni más ni menos que la nada’.”
[…]
«El cero pareciera, es la expresión matemática del silencio primordial; la locución matemática que realza lo inasequible. La nada se deja nombrar como cero para que accedamos, dentro del escenario matemático, a la elocuencia del silencio extremo –incógnita insuperable que irrumpe en relación y por oposición a lo cifrado.
Lo sabemos: lo indiscernible no equivale a lo inexistente. Equivale, cuando de lo absoluto se trata, a lo inabordable; a lo que se resiste a ser clasificado. El cero señala en dirección a lo indistinguible. Pero lo indistinguible dista de ser un conglomerado, yuxtaposición de países, confusión, mezcla o hibridez que luego, por obra del orden, deja de serlo.
El cero proclama que la conciencia ha tenido acceso matemático a lo incalculable; a lo real como escenario de deslumbrada incomprensión. Es por ello que el fondo al que remite el cero con su forma es el vacío.
Pareciera plausible, asimismo, que la fragmentación de la unidad, en escala absoluta, no redunde en cero sino en infinito. Tampoco da por resultado cero la reunión de las partes escindidas, su eventual reintegración en un todo. Ese todo nunca será cero. El cero no es un resultado ni un punto de partida.
El infinito se despliega mediante la fragmentación sin pausa de la unidad. Infinita es la inacabable escisión eventual de lo uno. En el orden numérico, la sucesión es incontenible. Los griegos la concibieron como un desgaja miento sin término de la unidad; como un despojamiento constante, hecho al uno, de una parte más: dos, cuatro, quince, setenta y nueve partes. Esta segmentación progresiva del uno, su incesante división, no lleva a nada –es decir, no lleva cero. Lleva, en cambio, a nuevas e infinitas subdivisiones o particiones. Es una marcha sin fin. Desemboca en lo siempre posible.
Asimismo, reagrupar lo dividido tampoco reconduce a nada sino, en última instancia, a uno. Y no reconduce a nada porque, en rigor, de la nada no proviene lo reagrupado, si por ello entendemos un devenir causal o un proceso de derivación. Infinito es, pues, el porvenir de lo numérico. Cero, en cambio, no es siquiera su reverso. Es su radical alteridad. Su instancia heterónima final.
El infinito es un atributo potencial del número. Es su virtualidad. El cero, inversamente, lo coarta: decreta su imposibilidad.
Admitiremos que el cero precede al uno pero sólo a condición de que esa precedencia sea concebida como la incógnita que impone la pregunta por el fundamento del uno. El cero es el enigma que envuelve dicha condición de posibilidad del uno; la nada en que anida el misterio del origen y que, como tal, precede al uno.
En otros términos: cuando se interroga por el fundamento del uno, sobreviene el anonadamiento –la vivencia de la nada, la presentificación del cero.
De modo que el cero no parece ser ni lo primero ni lo antecedente. No forma parte de cosa alguna. No se contabiliza. Es, eso si, la referencia insoslayable y, al mismo tiempo, inadmisible. Lo que pudiendo ser designado se resiste a ser, empero, penetrado por la descripción.
El cero tampoco es fértil en derivaciones. Se trata de una entidad cerrada sobre si misma. Nada blinda, nada contiene, a nada remite. Nada y sólo nada es lo que se sabe de ella. Y acaso está donde está para que la nada, precisamente, sea viable en la intuición matemática.
Ya se ve que esta nada no es sinónimo de lo irrelevante. Todo lo contrario. Bertrand Russell lo advierte con inquietud: ‘Es evidente, dice, que el cero tiene algún significado lógico general ‘.
Es intención de este capítulo reconocer al cero como manifestación matemática de lo que, en otros órdenes –el de lavida monástica, la poesía, el amor, el psicoanálisis, la música y la pintura- denomino silencio primordial.
La legitimación matemática del cero quebranta la adscripción exclush·a de la verdad a lo cuantificable. Ello equivale a decir que propone como igualmente válida, en el plano matemático, la correspondencia entre lo real y lo indescifrable. Pareciera ser que lo que la matemática se quiere recordar a sí misma mediante el cero es algo que le es propio y que sin embargo le resulta inconcebible. Acaso ese algo sea el efecto del discernimiento de su límite operacional. La ciencia del número no sólo no crece en desmedro de lo inscripto en él. Posee el contenido de lo que posee. Tiene, como bien dice Borges, forma.”
(Santiago Kovadloff: El silencio primordial, Emecé, 2011.)
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